Apa itu Topological Insulator? – Part II

Sekarang saya hendak menjelaskan sedikit (dengan menggunakan fisika) apa maksud dari kata topologi tersebut (dengan sangat sederhana sekali). Bahasan dibawah ini adalah untuk mahasiswa tingkat 2 atau 3 yang sudah belajar fisika kuantum supaya bisa mengikuti teknik-teknik yang saya jabarkan. Kalau belum mengerti pun, saya akan usahakan sesederhana mungkin supaya bisa mendapatkan bayang-bayang dari pengertian topologi ini.

Saya akan bahas dari perspektif model sederhana yang dinamakan Su-Schrieffer–Heeger (SSH) model. Sudah banyak buku yang membahas model ini tapi saya coba jelaskan dengan bahasa Indonesia dan pengertian saya sendiri.

Intinya, bayangkan rantai dari atom A = B secara tak terhingga

… A = B — A = B — A = B — A = B — A = B …

Pertanyaannya adalah hitunglah dispersi energi dari sistem tersebut dan juga fungsi eigennya jika diberikan nilai interaksi v untuk A=B dan w untuk A — B. Asumsikan juga interaksinya hanya sebatas interaksi tetangga terdekat atau Nearest Neighbour Interaction ….. (ini kenapa terdengar aneh sekali)

Jadi, Hamiltoniannya itu bisa dijabarkan dengan

\hat{H} =v \sum_{m=1}^{N} \left( \left|m,B\right>\left<m,A\right| + h.c. \right) +w \sum_{m=1}^{N-1} \left(\left|m+1,A\right>\left<m,B\right| + h.c.\right)

Dengan m adalah posisi basis kristalnya. Disini nilai N tersebut bisa diganti dengan \infty jika kita mau menghitung sifat limbaknya atau sifat elektron yang berkeliaran di sepanjang rantai itu tanpa memikirkan efek ujung-ujungnya.

Bagi teman-teman yang tertantang menyelesaikan ini sendiri, silahkan kerjakan dulu sendiri.

[Spoiler!!!]

Untuk memulai penghitungan limbaknya, kita harus menyadari bahwa sistem rantai di atas bersifat periodik, sehingga kita bisa membagi sistem itu menjadi sistem kristal 1 dimensi dengan basis A=B.

Karena ini berulang (periodic) maka kita menggunakan fungsi Bloch dalam menjawab persamaan Schrodingernya. Jadi, gunakan tebakan fungsi gelombang di bawah ini

\left|\psi\right> = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left( a \left|n,A\right> \frac{e^{iknq}}{\sqrt(N)} +  b \left|n,B\right> \frac{e^{iknq}}{\sqrt(N)} \right)

Dimana q adalah jarak antar atom tersebut, N adalah asumsi jumlah seluruh atom sebagai faktor normalisasi, k adalah momentum kristalnya, \left|n,A\right> adalah state atom A pada posisi ke n, dan \left|n,B\right> adalah state atom B pada posisi ke n.

Lalu, lakukanlah langkah standard yang teman-teman tahu dari proses mencari fungsi eigen dan juga nilai eigen. Disini bisa dicoba sendiri hingga dapat persamaan

bv+e^{-ikq}bw=Ea

dan

av+e^{ikq}aw=Eb

Sehingga menjadi

\left( \begin{matrix} -E & v+we^{-ikq} \\ v+we^{ikq} & -E \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) = 0

Lalu kita bisa dapatkan relasi dispersinya menjadi

E = \pm \sqrt{v^2 + w^2 +2vw \cos{kq}} = \pm \alpha

dan fungsi eigennya adalah

\left( \begin{matrix} a\\b \end{matrix} \right)_\pm = \frac{1}{2\alpha} \left( \begin{matrix} \sqrt{v+we^{-ikq}} \\ \pm \sqrt{v+we^{ikq}} \end{matrix} \right)

[Spoiler End]

Jadi untuk teman-teman yang sudah mendapatkan hasilnya. Sekarang kira bisa gambar hasil dari dispersi tersebut dengan mengasumsikan kondisi v>w, v=w, dan juga v<w.

Dispersinya adalah seperti di bawah ini

222

lalu akhirnya kedua pita tersebut bersentuhan

333

dan terbuka kembali jika kita terus ubah nilai interaksinya masing-masing

444

Maka disinilah letak pertanyaan selanjutnya.

Pada kasus v>w dan w>v, mereka sama-sama mempunya sela pada pita energinya yang menunjukkan ini sebagai insulator. Lalu apakah sebenarnya mereka sama persis sekali?

Jawabannya tidak! Kita bisa membagi dua sifat ini secara topologinya jika kita cukup jeli melihat dimana sifat topologinya tersebut. Dimanakah itu? Kita perlu cek fungsi eigen dari masing-masing kondisi tersebut yakni

\left( \begin{matrix} a\\b \end{matrix} \right)_\pm = \frac{1}{2\alpha} \left( \begin{matrix} \sqrt{v+we^{-ikq}} \\ \pm \sqrt{v+we^{ikq}} \end{matrix} \right)

Kita lihat faktor yang menarik yakni  \sqrt{v+we^{-ikq}}. Kita sebenarnya bisa menggambar ekspresi ini dengan mengasumsikan nilai kq sebagai suatu sudut putar di ruang kompleks sehingga kita akan mendapatkan.

Nah, dengan penggambaran seperti ini, sangat jelas bahwa ada sesuatu yang berbeda dari kedua kondisi yang keliatannya sama tersebut. Dari gambar di atas kita bisa melihat bahwa secara topologi, pita elektronik yang di atas itu menembus titik pusat koordinat dalam satu putaran kq atau satu perjalanan sepanjang unit kristal, sedangkan yang satu lagi tidak menembus atau menyentuh sama sekali. Ini jelas secara topologinya berbeda.

Lalu hal yang menarik adalah kondisi kritisnya yakni kondisi v = w yaitu kondisi dimana material ini tiba-tiba menjadi metal. Disinilah maksud jika sering dikatakan bahwa semimetal yang demikian adalah titik kritis antara topological insulator dan insulator biasa.

Bentuk dari kondisi kritis itu sangat mengingatkan kita pada graphene bukan? Disinilah letak menariknya graphene bahwa benda ini adalah posisi kritis dalam bentuk dua dimensi (2D). Ingat, model mainan kita ini hanyalah 1D. Secara ide, kita bisa mengerjakan ini secara umum di dimensi N.

Demikian dalam bagian ini kita melihat bahwa topologi dari pita elektronik bisa sangat berbeda walaupun secara sifat umum bisa saja sama.

Lalu, dimanakah perbedaan topologi ini akan bermanifestasi pada kenyataannya? Di ujungnya. Kita bisa bahas ini di tulisan lain.

bersambung

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s